Famille d'entiers divisibles par 21 - Corrigé

Énoncé

Soit $n\in \mathbb{Z}$ et $N=7n(n+1)(2n+1)$ .

1. À l'aide de la calculatrice, conjecturer le reste dans la division euclidienne de $N$ par $21$ selon les valeurs de $n$ .

2. a. Démontrer que $N$ est divisible par $3$ .
    b. Conclure.

Solution

1. D'après la calculatrice, voici un tableau présentant les restes $r$ dans la division euclidienne de $N$ par $21$ pour quelques valeurs entières de  $n$  :

$\begin{array}{r}\begin{array}{|ccccccccccc|}\hline n& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ r& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ \hline\end{array}\end{array}$  

Il semble donc que $N$ soit divisible par $21$ (et donc que le reste dans la division euclidienne de $N$ par $21$ vaille $0$ ) pour tout $n\in \mathbb{Z}$ .

2. a. On remarque que $N\equiv 7n(n+1)(2n+1)\equiv n(n+1)(2n+1)[3]$ car $7\equiv 1[3]$ .
On fait un tableau de congruences modulo $3$ : 

$\begin{array}{r}\begin{array}{|lccc|}\hline n\equiv ...[3]& 0& 1& 2\\ n+1\equiv ...[3]& 1& 2& 0\\ 2n+1\equiv ...[3]& 1& 0& 2\\ N\equiv ...[3]& 0& 0& 0\\ \hline\end{array}\end{array}$  

On en déduit que $N$ est congru à $0$ modulo $3$ pour tout $n\in \mathbb{Z}$ , autrement dit $N$ est divisible par $3$ .

b. Il est clair que $N$ est divisible par $7$ , car $N=7k$ avec $k=n(n+1)(2n+1)\in \mathbb{Z}$ . 
Comme $N$ est divisible par $3$ et par $7$ , et comme $3$ et $7$ sont premiers entre eux, d'après le corollaire du théorème de Gauss, $N$ est divisible par $3\times 7=21$ .